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初等数论及其应用(原书第6版)


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(美)Kenneth H.Rosen 著
978-7-111-48697-8
89.00
499
2015年03月28日
夏鸿刚 译
数学 > 代数,数论及组合理论 > 数论及应用
Pearson Education Asia
2811
简体中文
16
Elementary Number Theory
教材
华章数学译丛








本书以经典理论与现代应用相结合的方式介绍了初等数论的基本概念和方法,内容包括整除、同余、二次剩余、原根以及整数的阶的讨论和计算。此外,书中附有60多位对数论有贡献的数学家的传略。
本书是数论课程的经典教材,自出版以来,深受读者好评,被美国加州大学伯克利分校、伊利诺伊大学、得克萨斯大学等数百所名校采用。
本书以经典理论与现代应用相结合的方式介绍了初等数论的基本概念和方法,内容包括整除、同余、二次剩余、原根以及整数的阶的讨论和计算。
本书特色
经典理论与现代应用相结合。通过增强实例和练习,将数论的应用引入了更高的境界,同时更新并扩充了对密码学这一热点论题的讨论。
内容与时俱进。不仅融合了最新的研究成果和新的理论,而且还补充介绍了相关的人物传记和历史背景知识。
习题安排别出心裁。书中提供三类习题:第一类是由易到难的普通习题,第二类是富有挑战的计算和研究题,第三类是程序设计题。这使得读者能够将数学理论与编程技巧实践联系起来。此外,本书在上一版的基础上对习题进行了大量更新和修订。
作者简介
Kenneth H. Rosen 1972年获密歇根大学数学学士学位,1976年获麻省理工学院数学博士学位,1982年加入贝尔实验室,现为AT&T实验室特别成员,国际知名的计算机数学专家。Rosen博士对数论领域与数学建模领域颇有研究,并写过很多经典论文及专著。除本书外,还著有经典著作《离散数学及其应用》(中文版和影印版均已由机械工业出版社引进出版)。
我编著本书的目的是想写一本关于数论的入门级读物.起初我的想法是制作一个教学上的有效工具,希望能展示数论这一数学分支中丰富的题材以及出乎意料的实用性.数论既是经典的又是现代的,同时它既是理论化的又是实用化的.在本书中,我力求抓住这一对立面,并最大限度地将它们糅合在一起.
本书是本科阶段理想的数论教材. 除了一些必要的数学素养和大学代数知识外不需要别的预备知识.本书也可以作为初等数论的资料读物,既可作为计算机科学类课程的有益补充,也可作为有兴趣学习数论和密码学进展的读者的初级读物.由于它的广泛性,它既可作为教科书,也可作为初等数论及其广泛应用的长期参考书.
本版的发行正好是庆祝该书的银质纪年. 在过去的25年里,前面的版本大约被十万名学生学习过. 本书每个成功的版本都得益于许多师生及审稿者的反馈与建议.本次新版延续了前面版本的基本框架,但有许多补充与改进.希望对本书不熟悉的教师或没有读过前面几版的读者仔细通读这一新的第6版,相信你们会喜欢本书中丰富的习题、有趣的人物传记和历史注记、最新进展的跟踪、缜密的证明、有用的例子、丰富的应用、对数学计算软件(例如Maple和Mathematica)的支持以及网络上的大量资源.
第6版的变化
第6版的改动是为了使本书更易于教学和更有趣味性,以及尽可能及时更新诸多进展.许多改动是应第5版的读者和审阅者的要求而进行的.下面列出了本版的一些改动之处.
·新的发现
本版追踪了数值计算和理论证明这两方面的最新发现. 这其中包括四个新的梅森素数的发现以及许多未解决猜想的新证据,还有证明了任意长度的素数级数存在性的 Tao-Green定理,这是本版收集的最新的理论证明方面的成果之一.
·人物传记和历史注记
我们在原来的丰富的人物传记基础上新添加了Terence Tao(陶哲轩)、Etienne Bezout、Norman MacLeod Ferrers、Clifford Cocks和Waclaw Sierpiński等人的小传,也增添了在Rivest、Shamir、Adleman等人的工作之前英国密码学上令人惊讶的秘密发现.
·猜想
新增了不少初等数论当中的猜想,特别是关于素数和丢番图方程的问题,这些问题中有的已经解决,而有的仍然悬而未决.
·组合数论
新增了一节关于拆分的介绍性内容,这是组合数论中很有意思的分支. 这一节中介绍了比较重要的概念,例如费勒斯图、 拆分恒等式、拉马努扬在同余上的工作等. 在该节中,对于一些拆分恒等式,包括欧拉的重要工作,我们分别使用了母函数和建立双射对应来给出证明.
·同余数与椭圆曲线
新增了一节讲述鼎鼎有名的同余数问题,同余数问题是指判断哪些正整数是边长为有理数的三角形的面积.该节有椭圆曲线的简单介绍以及如何将同余数问题和特定的椭圆曲线上的有理点联系起来的内容,同时也有将同余数问题与三平方算术级数联系在一起的内容.
·几何推导
本版介绍了利用几何推导来研究丢番图问题的方法. 特别地,新增内容表明了找出单位圆周上的有理点对应于找出毕达哥拉斯三元组,找出以指定整数为面积的有理三角形等价于找出相应的椭圆曲线上的有理点.
·密码学
本版删去了RSA密码系统中待加密明文需与密钥中模互素这一不必要的限制.
·最大公因子
最大公因子和两整数互素都在第1章中引入. 本书也引入了Bezout 系数这一概念.
·雅可比符号
给出雅可比符号实用性的动机,特别是给出了利用雅可比符号来计算勒让德符号的讨论.
·改进的习题
对习题的改进我们做了大量的工作,添加了从一般性的到有挑战性的数百道新习题, 而且在计算和研究部分也有新习题.
·准确性
为本书的准确性我们付出了不少努力. 两个独立的审阅者分别检查了全部正文以及习题答案.
·网站www.pearsonhighered.com/rosen
本版的网站也进行了大幅扩充, 师生们可以在此找到许多与本书关联的资料. 新内容包括扩充的小应用程序列表、使用数学软件研究数论的手册以及一个专门刊发数论新闻的网页.
习题部分
鉴于习题的重要性,我在修改习题上花费了大量的时间. 学生应该记住学习数学的最好方法就是尽可能地多做习题.下面我将简短地介绍本书中习题的类型以及答案的出处.
·普通习题
一般性的习题按照适当的次序排序,着重于训练基本的技能,奇偶号习题都有这种类型的题目.大量中等难度的习题帮助学生将诸多概念融合在一起得出新的结果,也有很多习题是为了发展一些新的概念.
·有难度的习题
本书中有不少具有挑战性的习题,用“*”标记的是较难的习题,用“**”标记的是很难的习题.有些习题的结论在后面章节中会被用到,这些习题用手形“”标记,这部分习题应该在教师的指定下去尝试.
·习题答案
本书的后面提供了所有奇数号习题的答案 限于篇幅,习题答案未出现在中文版中,有需要者可从华章网站(www.hzbook.com)下载.——编辑注.更完整的习题答案可在英文书网站上的“Student’s Solutions Manual”部分找到.所有答案都被多次检查以保证准确性.
·计算类习题
每节后附有计算和研究题,需要用诸如Maple、 Mathematica、 PARI/GP或者Sage 之类的软件或学生自己编写的程序来完成.有些常规的习题可以让学生熟悉一些基本的命令(附录D中有关于Maple、Mathemaica的命令,PARI/GP和Sage的命令可在英文书网站上找到),而更多开放性的习题是为实验和激发创造性而设计的.每节后还附有程序设计题,学生可以选用一种编程语言或一种程序来完成. 英文书网站上的“Student’s Manual to Computations and Explorations ”部分提供了答案或提示以帮助学生完成这些习题.
网站
学生和教师可以在www.pearsonhighered.com/rosen上找到各种类型的资源. 在www.pearsonhighered.com/irc上可以找到专门为教师提供的资源,这些资源的获取需要从Pearson那里获取密码.
·外部链接
该网站列有到许多与数论相关的网站的带说明的链接.这些网站与书中相关材料的讨论关系密切. 附录D中列出了与数论相关的最重要的一些网址.
·数论新闻
该网站有一个专门刊登最新数论发现的页面.
·学生解题手册
学生解题手册包含所有奇数号习题的答案以及试题样本.
·学生计算和研究题手册
该手册为计算和研究题提供帮助,对此类习题提供完全或部分答案,或者给出提示.该手册在不同程度上支持各种计算平台,包括Maple、Mathematica以及PARI/GP.
·应用小程序
该网站上有大量的应用小程序. 学生可以利用这些程序来进行数论上一般性的计算以及加深对概念的理解和研究未解决的猜想.除了数论中的计算性算法程序外,我们也提供了密码学上的应用小程序,包括解密、加密、密码分析以及密码协议,兼顾了经典密码和RSA密码系统.这些密码学上的应用小程序可被个人或组织使用,也可用于教学.
·建议性项目
该网站上有一批建议性项目,这些项目可用于学生或是学生小组的期末作业.
·教师手册
含有所有习题的答案,包括偶数号习题,也有大量不对学生开放的各种资源,包括课程表样本、课程范围的建议以及试题库等.
如何使用本书
本书可用作侧重点不同的各种级别的初等数论课程的教科书. 因此,教师用本书来安排课程有相当大的自由度. 对多数教师而言,第1章、2.1节、第3章、4.1~4.3节、第6章、7.1~7.3节、9.1~9.2节的主要内容是必需的.
教师可以用感兴趣的部分来充实自己的课程表. 一般而言,所有内容可粗略分为理论性和应用性两部分.理论性部分有莫比乌斯反演(7.4节)、整数的拆分(7.5节)、 原根(第9章)、连分数(第12章)、 丢番图方程(第13章)、 高斯整数(第14章)等.
有些教师也许想加入一些易于接受的应用,例如整除性检验、万年历、校验位(第5章). 而想侧重计算机应用和密码学的教师可以加入第2章和第8章,也可继续加入9.3节、9.4节、第10章、11.5节等.
在选好想要讲授的章节后,教师可参考下图所示的各章间的依赖关系:

虽然第2章在不需要时可省略,但其中解释了描述算法复杂度的贯穿全书的大O符号. 除了定理12.4依赖于第9章的内容外,第12章只依赖于第1章.第13章中只有13.4节依赖于第12章. 若9.1节中有关原根的可选注释被略去,则可以不用学完第9章而学习第11章.14.3节应与13.3节一同被采用.
此外,教师可参阅网站上教师手册中侧重点不同的课程表.
致谢
感谢Pearson和Addison-Wesley的编辑 Bill Hoffman和Pearson数学分部的主任 Greg Tobin一如既往的热情支持, Bill Hoffman是我在Pearson合作最多的编辑. 特别感谢我的助理编辑Caroline Celano, 在她的协助下本版得以出版. 感谢本书幕后的整个编辑、生产、营销和媒体团队,他们是Pearson的Beth Houston(生产项目经理)、Maureen Raymond(插图编辑)、Carl Cottrell(媒体设计师)、Jeff Weidenaar(市场营销经理)、Kendra Bassi(营销助理)、Beth Paquin(设计师)以及Windfall Software 的Paul Anagnostopoulos(项目经理)、Jacqui Scarlott(排版)、Rick Camp(文字编辑和校对)、Laurel Muller(美工).再次感谢为本书前五版提供支持的所有人,包括以前Addison-Wesley 的许多编辑以及AT&T贝尔实验室的管理层(以及相关人员).
特别感谢Bart Goddard, 本书所有习题的答案均由他给出,同时他也审阅了本书.感谢Jean-Claude Evard 和Roger Lipsett一遍遍地检查了全部手稿,包括习题的答案.感谢David Wright对本书网站所做的贡献,包括关于PARI/GP的材料、数论和密码学上的应用小程序、计算和研究手册和建议的作业. 感谢Larry Washington和Keith Conrad 在同余数及椭圆曲线方面的建议.
审阅人
我从本书前几版读者的深思熟虑的评论和建议中受益匪浅,他们的许多想法已体现在这一版中.在此特别感谢为第6版提供帮助的审阅人:
Jennifer Beineke, 西部新英格兰学院
David Bradley, 缅因阿让诺大学
Flavia Colonna, 乔治梅森大学
Keith Conrad, 康涅狄格大学
Pavel Guerzhoy, 夏威夷大学
Paul E. Gunnells, 马萨诸塞大学阿默斯特分校
Charles Parry, 弗吉尼亚理工学院和州立大学
Holly Swisher, 俄勒冈州立大学
Lawrence Sze, 加州理工大学Pomona分校
在此也感谢前几版的大约50位审阅人,他们一直为改进本书提供着帮助. 最后,提前感谢以后给我发送建议和勘误的读者,相关内容可由math@pearson.com转发给我.

Kenneth H. Rosen
于新泽西州米德尔顿
前言
符号表
何谓数论1
第1章 整数4
 1.1 数和序列4
 1.2 和与积12
 1.3 数学归纳法17
 1.4 斐波那契数22
 1.5 整除性27
第2章 整数的表示法和运算33
 2.1 整数的表示法33
 2.2 整数的计算机运算39
 2.3 整数运算的复杂度44
第3章 素数和最大公因子50
 3.1 素数50
 3.2 素数的分布57
 3.3 最大公因子及其性质68
 3.4 欧几里得算法74
 3.5 算术基本定理82
 3.6 因子分解法和费马数93
 3.7 线性丢番图方程100
第4章 同余106
 4.1 同余概述106
 4.2 线性同余方程115
 4.3 中国剩余定理118
 4.4 求解多项式同余方程124
 4.5 线性同余方程组129
 4.6 利用波拉德ρ方法分解整数137
第5章 同余的应用139
 5.1 整除性检验139
 5.2 万年历144
 5.3 循环赛赛程148
 5.4 散列函数149
 5.5 校验位153
第6章 特殊的同余式159
 6.1 威尔逊定理和费马小定理159
 6.2 伪素数165
 6.3 欧拉定理172
第7章 乘性函数176
 7.1 欧拉函数176
 7.2 因子和与因子个数183
 7.3 完全数和梅森素数188
 7.4 莫比乌斯反演199
 7.5 拆分204
第8章 密码学215
 8.1 字符密码215
 8.2 分组密码和流密码221
 8.3 指数密码235
 8.4 公钥密码学237
 8.5 背包密码244
 8.6 密码协议及应用249
第9章 原根256
 9.1 整数的阶和原根256
 9.2 素数的原根261
 9.3 原根的存在性266
 9.4 离散对数和指数的算术272
 9.5 用整数的阶和原根进行素性检验279
 9.6 通用指数284
第10章 原根与整数的阶的应用289
 10.1 伪随机数289
 10.2 埃尔伽莫密码系统295
 10.3 电话线缆绞接中的一个应用299
第11章 二次剩余304
 11.1 二次剩余与二次非剩余304
 11.2 二次互反律316
 11.3 雅可比符号326
 11.4 欧拉伪素数334
 11.5 零知识证明340
第12章 十进制分数与连分数346
 12.1 十进制分数346
 12.2 有限连分数355
 12.3 无限连分数362
 12.4 循环连分数372
 12.5 用连分数进行因子分解383
第13章 某些非线性丢番图方程386
 13.1 毕达哥拉斯三元组386
 13.2 费马大定理393
 13.3 平方和402
 13.4 佩尔方程411
 13.5 同余数416
第14章 高斯整数429
 14.1 高斯整数和高斯素数429
 14.2 最大公因子和唯一因子分解437
 14.3 高斯整数与平方和445
附录A 整数集公理450
附录B 二项式系数452
附录C Maple和Mathematica在数论中的应用457
附录D 有关数论的网站464
附录E 表格465
参考文献479
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