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数值分析(原书第2版)


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(美)Timothy Sauer 著
978-7-111-48013-6
99.00
593
2014年11月25日
裴玉茹 马赓宇 译
数学 > 计算数学 > 数值分析、逼近
Pearson Education Asia
1857
简体中文
16
Numerical Analysis
教材
华章数学译丛








本书以收敛性、复杂性、条件作用、压缩和正交性这5 个主要思想为核心进行展开. 内容包括求解方程组、插值、最小二乘、数值微分、数值积分、微分方程及边值问题、随机数及其应用、三角插值、压缩、最优化等. 每章都有一个实例检验, 有助于读者了解到相关应用领域. 附录中介绍了矩阵代数和matlab, 并提供了部分习题的答案. 本书内容广泛, 实例丰富, 可作为自然科学、工程技术、计算机科学、数学、金融等专业人员进行教学和研究的参考书.
本书是一本优秀的数值分析教材,书中不仅全面论述了数值分析的基本方法,还深入浅出地介绍了计算机和工程领域使用的一些高级数值方法,如压缩、前向和后向误差分析、求解方程组的迭代方法等。每章的“事实验证”部分结合数值分析在各领域的具体应用实例,进一步探究如何更好地应用数值分析方法解决实际问题。此外,书中含有一些算法的MATLAB实现代码,并且每章都配有大量难度适宜的习题和编程问题,便于读者学习、巩固和提高。
本书内容生动新颖,讲解细致,实用性强,受到广泛好评,被美国多所大学采纳为教材或指定为参考书。基于读者的反馈,第2版进行了全面修订和更新,新增了楚列斯基分解、GMRES方法和非线性偏微分方程组等内容。
本书特点
内容循序渐进,全书都是从基本概念开始,逐步深入到复杂概念。
突出显示数值分析的5个重要思想:收敛、复杂度、条件、压缩和正交。
附录B含有简短的MATLAB指南,便于读者了解和熟悉MATLAB软件。  
配套网站(www.pearsonhighered.com/sauer)含有书中涉及的MATLAB项目。
作者简介
Timothy Sauer 乔治梅森大学数学系教授。1982年于加州大学伯克利分校获得数学专业博士学位,师从著名数学家Robin Hartshorne。他的主要研究领域为动力系统、计算数学和数学生物学。他是《SIAM Journal on Applied Dynamical Systems》、《Journal of Difference Equations and Applications》和《Physica D》等学术期刊的编委。
本书可以作为工科、理科、数学和计算机科学专业学生的教科书.初等微积分和矩阵代数是数值分析课程的先修课程.该书的首要目的在于构造并剖析科学和工程问题的求解算法,其次是帮助读者在该领域中寻找某些重要的定理,这些定理集成起来就构成当代数值和计算科学时下研究与发展的活跃领域.
  数值分析学科中充溢着有用的理念.本书尽力用大量明晰的技巧讲述该主题,同时避免一些不相关的方法和概念.为了更深入地理解,读者需要学习的不仅仅是如何编码实现牛顿方法、龙格库塔方法,以及快速傅里叶变换,而是必须领会那些重要的定理.这些定理深深渗入数值分析学科,并融入数值分析中关于精度和效率的重要概念.
  收敛、复杂度、条件、压缩以及正交是数值分析中最重要的五个概念.当提供足够多的计算资源时,任何有价值的近似方法都必须能够收敛到正确的解.该近似方法的复杂度是其使用计算资源的一种度量方式.一个问题的条件,或者对于误差放大的敏感性,是知晓该问题受到攻击可能性的基础.大量数值分析最新应用尽力以更短或者压缩的方式理解数据.最后,正交是许多算法中提升效率的关键,特别是在条件也是算法中的一个方面,或者数据压缩是算法的目标时.
  在本书中,当代数值分析中的五大概念使用加方框的方式重点强调,利用这些概念对主题进行即时评述,同时描述与该书其他部分出现的相同概念的其他表达方式非正式的联系.我们希望以这样显式的方式强调五大概念,可以如同希腊合唱团一般,突出当前理论的重点.
  我们都知道数值分析的理念对于现代工程和科学实践尤为重要,“事实验证”板块提供了利用数值方法解决重要的科学和技术问题的实例.本书选择的这些扩展的应用贴合时代并贴近日常的体验. 尽管不可能(可能也不需要)提供这些问题的所有细节,但事实验证还是尽量深入地展示一个技术或者算法如何利用少量的数学知识获得技术和功能上的巨大回报.事实验证被证明是第1版中学生作业和项目的一个主要来源,第2版中对其进行了扩展和详述.
  新版特色.第2版主要扩展了方程组求解方法.在第2章中加入了楚列斯基(Cholesky)分解法求解对称的正定矩阵方程.在第4章中针对大规模的线性系统,加入对于Krylov方法(包括GMRES方法)的讨论,以及对于对称和非对称问题的预条件的使用.在新版中还加入了改进的格拉姆施密特(Gram-Schmidt)正交法和Levenberg-Marquardt方法.第8章中的PDE问题已被扩展到了非线性PDE,包括反应扩散方程和模式形成.为了提高可读性,根据学生的反馈对于注释材料进行了修订,并在整本书中加入新的习题和编程问题.
  技术. MATLAB软件工具包用于展示算法,并作为学生作业和项目的平台.在书中MATLAB代码的数量认真地调整过,因为事实证明太多的代码往往有负面的作用.在前面的章节中可以找到更多的MATLAB代码,以便读者在阅读的过程中循序渐进地熟悉MATLAB代码.在某些提供更详细代码的章节(例如,插值、常微分和偏微分方程),则希望读者可以使用提供的代码作为起点进行开发和扩展.
  在使用本书的过程中利用任何特定的计算平台并不重要,但是当前MATLAB在工科和理科院系中的使用越来越多,所以本书中使用MATLAB进行阐述.在MATLAB中,所有数据接口问题,例如数据输入和输出、绘图等,可以一下子解决.数据结构问题(例如研究稀疏矩阵时可能遇到的问题)可以通过使用适当指令对其进行规范化.MATLAB还可以进行音频和图像文件的输入和输出.由于MATLAB内嵌动画指令,很容易实现微分方程仿真.以上这些通过其他方式也可以实现.但是使用一个能在几乎所有操作系统上运行的工具包有助于简化细节,使得学生更专注于真正的数学问题.附录B是MATLAB教程,可以作为入门介绍,或者用于熟悉MATLAB的学生参考.
  本书网站www.pearsonhighered.com/sauer中包括所有书中的MATLAB程序,以及一些新的材料和更新供读者下载.
  课程设计. 本书从一开始的基础、初级理论逐步过渡到更加复杂的概念.第0章介绍有助于理解书中主要算法的基础知识.部分教师喜欢从头开始,其他一些教师(包括作者)倾向于从第1章开始,并在需要的时候再讲述第0章中的部分内容.第1章和第2章讨论各种形式方程的求解问题.第3章和第4章主要讲述数据拟合、插值和最小二乘法.第5~8章又回到了经典的连续数学问题的数值分析领域,包括:数值微分和积分,常微分和偏微分方程在初值条件和边值条件下的求解.
  第9章讲述随机数(用于提供第5~8章问题的补充方法),包括:作为标准数值积分替代的蒙特卡罗方法,以及对应的随机微分方程,这些方法在模型中出现不确定性的情况下是必需的.
  尽管压缩方法通常隐藏在插值、最小二乘、傅里叶变换的描述中,但压缩是数值分析的一个核心问题,我们在第10章和第11章中讲述现代压缩技术.在第10章中,利用快速傅里叶变换从精确和最小二乘的观点实现三角插值.在第11章中,强调了和语音压缩的联系,阐述了离散余弦变换——现代语音和图像压缩中的一个标准方法.在第12章中,特征值与奇异值的描述用于强调其与数据压缩的联系,这在当前的应用中变得越来越重要.第13章是对优化技术的一个简短描述.
  该书通过精选章节,可用于一个学期的课程.第0~3章是该领域中任何课程的基础.一个学期的课程设计如下:

致谢
  第2版要感谢很多人,包括选修过该课程的学生,他们曾经阅读过第1版并给出建议.此外要特别感谢Paul Lorczak、Maurino Bautista和Tom Wegleitner,他们帮助我避免了令人尴尬的失误.还要大力感谢Nicholas Allgaier、Regan Beckham、Paul Calamai、Mark Friedman、David Hiebeler、Ashwani Kapila、Andrew Knyazev、Bo Li、Yijang Li、Jeff Parker、Robert Sachs、Evelyn Sander、Gantumur Tsogtgerel和Thomas Wanner,他们提出了很多建议.William Hoffman、Caroline Celano、Beth Houston、Jeff Weidenaar与 Brandon Rawnsley这些在培生出版集团工作能力很强的人员,以及在Integra-PDY工作的 Shiny Rajesh 使得第2版的出版过程令人愉快.最后,要感谢如下来自各个大学的读者,他们鼓励了这本书的出版并对第1版的改进提出了不可或缺的建议:
Eugene Allgower 科罗拉多州立大学
Constantin Bacuta 特拉华大学
Michele Benzi 埃默里大学
Jerry Bona 伊利诺伊大学芝加哥分校
George Davis 佐治亚州立大学
Chris Danforth 佛蒙特大学
Alberto Delgado 布拉德利大学
Robert Dillon 华盛顿州立大学
Qiang Du 宾夕法尼亚州立大学
Ahmet Duran 密歇根大学安娜堡分校
Gregory Goeckel 长老会学院
Herman Gollwitzer 德雷塞尔大学
Don Hardcastle 贝勒大学
David R. Hill 天普大学
Hideaki Kaneko 欧道明大学
Daniel Kaplan 玛卡莱斯特学院
Fritz Keinert 爱荷华州立大学
Akhtar A. Khan 罗彻斯特理工学院
Lucia M. Kimball 本特利大学
Colleen M. Kirk 加利福尼亚州立工业大学
Seppo Korpela 俄亥俄州立大学
William Layton 匹兹堡大学
Brenton LeMesurier 查尔斯顿学院
Melvin Leok 加州大学圣地亚哥分校
Doron Levy 斯坦福大学
Shankar Mahalingam 加州大学河滨分校
Amnon Meir 奥本大学
Peter Monk 特拉华大学
Joseph E. Pasciak 得克萨斯A&M大学
Jeff Parker 哈佛大学
Steven Pav 圣地亚哥加州大学
Jacek Polewczak 加州州立大学
Jorge Rebaza 密苏里州立大学
Jeffrey Scroggs 北卡罗来纳州立大学
Sergei Suslov 亚利桑那州立大学
Daniel Szyld 天普大学
Ahlam Tannouri 摩根州立大学
JinWang 欧道明大学
BrunoWelfert 亚利桑那州立大学
Nathaniel Whitaker 麻省大学
译者序
前言
第0章 基础知识1
 0.1 多项式求值1
 0.2 二进制数字5
  0.2.1 将十进制转化为二进制5
  0.2.2 将二进制转化为十进制6
 0.3 实数的浮点表示7
  0.3.1 浮点格式7
  0.3.2 机器表示10
  0.3.3 浮点数加法12
 0.4 有效数字缺失14
 0.5 微积分回顾18
 软件与进一步阅读21
第1章 求解方程22
 1.1 二分法22
  1.1.1 把根括住22
  1.1.2 多准?多快25
 1.2 不动点迭代27
  1.2.1 函数的不动点27
  1.2.2 不动点迭代几何30
  1.2.3 不动点迭代的线性收敛31
  1.2.4 终止条件36
 1.3 精度的极限39
  1.3.1 前向与后向误差39
  1.3.2 威尔金森多项式42
  1.3.3 根搜索的敏感性43
 1.4 牛顿方法46
  1.4.1 牛顿方法的二次收敛47
  1.4.2 牛顿方法的线性收敛49
 1.5 不需要导数的根求解54
  1.5.1 割线方法及其变体54
  1.5.2 Brent方法57
 事实验证1 Stewart平台运动学59
 软件与进一步阅读61
第2章 方程组62
 2.1 高斯消去法62
  2.1.1 朴素的高斯消去法62
  2.1.2 操作次数64
 2.2 LU分解69
  2.2.1 高斯消去法的矩阵形式69
  2.2.2 使用LU分解回代71
  2.2.3 LU分解的复杂度73
 2.3 误差来源75
  2.3.1 误差放大和条件数75
  2.3.2 淹没80
 2.4 PA=LU分解83
  2.4.1 部分主元83
  2.4.2 置换矩阵85
  2.4.3 PA=LU分解86
 事实验证2 欧拉伯努利横梁91
 2.5 迭代方法94
  2.5.1 雅可比方法94
  2.5.2 高斯塞德尔方法和SOR96
  2.5.3 迭代方法的收敛99
  2.5.4 稀疏矩阵计算100
 2.6 用于对称正定矩阵的方法105
  2.6.1 对称正定矩阵105
  2.6.2 楚列斯基分解106
  2.6.3 共轭梯度方法109
  2.6.4 预条件113
 2.7 非线性方程组118
  2.7.1 多元牛顿方法118
  2.7.2 Broyden方法120
 软件与进一步阅读123
第3章 插值124
 3.1 数据和插值函数124
  3.1.1 拉格朗日插值125
  3.1.2 牛顿差商127
  3.1.3 经过n个点的d阶多项式有多少130
  3.1.4 插值代码131
  3.1.5 通过近似多项式表示函数132
 3.2 插值误差136
  3.2.1 插值误差公式136
  3.2.2 牛顿形式和误差公式的证明137
  3.2.3 龙格现象139
 3.3 切比雪夫插值141
  3.3.1 切比雪夫理论141
  3.3.2 切比雪夫多项式143
  3.3.3 区间的变化145
 3.4 三次样条149
  3.4.1 样条的性质150
  3.4.2 端点条件156
 3.5 贝塞尔曲线160
 事实验证3 利用贝塞尔曲线定义字体164
 软件与进一步阅读167
第4章 最小二乘168
 4.1 最小二乘与法线方程168
  4.1.1 不一致的方程组168
  4.1.2 数据的拟合模型172
  4.1.3 最小二乘的条件176
 4.2 模型概述179
  4.2.1 周期数据179
  4.2.2 数据线性化182
 4.3 QR分解188
  4.3.1 格拉姆施密特正交与最小二乘188
  4.3.2 改进的格拉姆施密特正交194
  4.3.3 豪斯霍尔德反射子196
 4.4 广义最小余项(GMRES)方法201
  4.4.1 Krylov方法201
  4.4.2 预条件GMRES203
 4.5 非线性最小二乘205
  4.5.1 高斯牛顿方法205
  4.5.2 具有非线性参数的模型208
  4.5.3 Levenberg-Marquardt方法210
 事实验证4 GPS、条件和非线性最小二乘212
 软件与进一步阅读214
第5章 数值微分和积分216
 5.1 数值微分216
  5.1.1 有限差分公式216
  5.1.2 舍入误差219
  5.1.3 外推221
  5.1.4 符号微分和积分222
 5.2 数值积分的牛顿科特斯公式225
  5.2.1 梯形法则226
  5.2.2 辛普森法则227
  5.2.3 复合牛顿科特斯公式229
  5.2.4 开牛顿科特斯方法231
 5.3 龙贝格积分234
 5.4 自适应积分237
 5.5 高斯积分241
 事实验证5 计算机辅助建模中的运动控制245
 软件与进一步阅读247
第6章 常微分方程248
 6.1 初值问题248
  6.1.1 欧拉方法250
  6.1.2 解的存在性、唯一性和连续性254
  6.1.3 一阶线性方程256
 6.2 IVP求解器的分析258
  6.2.1 局部和全局截断误差258
  6.2.2 显式梯形方法262
  6.2.3 泰勒方法264
 6.3 常微分方程组266
  6.3.1 高阶方程267
  6.3.2 计算机仿真:钟摆268
  6.3.3 计算机仿真:轨道力学271
 6.4 龙格库塔方法和应用276
  6.4.1 龙格库塔家族276
  6.4.2 计算机仿真:Hodgkin-Huxley神经元278
  6.4.3 计算机仿真:Lorenz方程281
 事实验证6 Tacoma Narrows大桥283
 6.5 可变步长方法286
  6.5.1 龙格库塔嵌入对286
  6.5.2 4/5阶方法288
 6.6 隐式方法和刚性方程292
 6.7 多步方法295
  6.7.1 构造多步方法295
  6.7.2 显式多步方法298
  6.7.3 隐式多步方法301
 软件与进一步阅读305
第7章 边值问题306
 7.1 打靶方法306
  7.1.1 边值问题的解306
  7.1.2 打靶方法的实现309
 事实验证7 圆环的扭曲312
 7.2 有限差分方法314
  7.2.1 线性边值问题314
  7.2.2 非线性边值问题316
 7.3 排列与有限元方法321
  7.3.1 排列321
  7.3.2 有限元以及Galerkin方法323
 软件与进一步阅读328
第8章 偏微分方程329
 8.1 抛物线方程329
  8.1.1 前向差分方法330
  8.1.2 前向差分方法的稳定分析332
  8.1.3 后向差分方法334
  8.1.4 Crank-Nicolson方法338
 8.2 双曲线方程344
  8.2.1 波动方程345
  8.2.2 CFL条件347
 8.3 椭圆方程349
  8.3.1 椭圆方程的有限差分方法351
 事实验证8 冷却散热片的热分布355
  8.3.2 椭圆方程的有限元方法357
 8.4 非线性偏微分方程366
  8.4.1 隐式牛顿求解器367
  8.4.2 二维空间中的非线性方程372
 软件与进一步阅读378
第9章 随机数和应用380
 9.1 随机数380
  9.1.1 伪随机数381
  9.1.2 指数和正态随机数385
 9.2 蒙特卡罗模拟387
  9.2.1 幂律和蒙特卡罗模拟387
  9.2.2 拟随机数389
 9.3 离散和连续布朗运动392
  9.3.1 随机游走393
  9.3.2 连续布朗运动394
 9.4 随机微分方程397
  9.4.1 有噪声的微分方程397
  9.4.2 数值方法求解SDE399
 事实验证9 Black-Scholes公式405
 软件与进一步阅读407
第10章 三角插值和FFT408
 10.1 傅里叶变换408
  10.1.1 复数算术408
  10.1.2 离散傅里叶变换410
  10.1.3 快速傅里叶变换413
 10.2 三角插值415
  10.2.1 DFT插值定理415
  10.2.2 三角插值函数的效率418
 10.3 FFT和信号处理421
  10.3.1 正交性和插值421
  10.3.2 用三角函数进行最小二乘拟合424
  10.3.3 声音、噪声和滤波427
 事实验证10 维纳滤波429
 软件与进一步阅读431
第11章 压缩432
 11.1 离散余弦变换432
  11.1.1 一维DCT432
  11.1.2 DCT变换和最小二乘近似435
 11.2 二维DCT和图像压缩437
  11.2.1 二维DCT437
  11.2.2 图像压缩440
  11.2.3 量化443
 11.3 霍夫曼编码449
  11.3.1 信息论和编码449
  11.3.2 JPEG格式中的霍夫曼编码452
 11.4 改进的DCT和音频压缩454
  11.4.1 改进的DCT455
  11.4.2 位量化460
 事实验证11 一个简单的音频编解码器462
 软件与进一步阅读464
第12章 特征值与奇异值465
 12.1 幂迭代方法465
  12.1.1 幂迭代466
  12.1.2 幂迭代的收敛468
  12.1.3 幂迭代的逆469
  12.1.4 瑞利商迭代470
 12.2 QR算法472
  12.2.1 同时迭代472
  12.2.2 实数舒尔形式和QR算法475
  12.2.3 上海森伯格形式477
 事实验证12 搜索引擎如何评价页面质量481
 12.3 奇异值分解484
  12.3.1 找出一般的SVD486
  12.3.2 特例:对称矩阵487
 12.4 SVD的应用489
  12.4.1 SVD的性质489
  12.4.2 降维490
  12.4.3 压缩492
  12.4.4 计算SVD493
 软件与进一步阅读494
第13章 最优化496
 13.1 不使用导数的无约束优化497
  13.1.1 黄金分割搜索497
  13.1.2 持续的抛物线插值500
  13.1.3 Nelder-Mead搜索502
 13.2 使用导数的无约束优化505
  13.2.1 牛顿方法505
  13.2.2 最速下降507
  13.2.3 共轭梯度搜索507
 事实验证13 分子形态和数值优化509
 软件与进一步阅读511
附录A 矩阵代数512
附录B MATLAB介绍518
部分习题答案527
参考文献558
索引569
我从2007年开始讲授工科院系本科生的数值分析课程,寻找一本好的教学参考书是一直以来的愿望.不同于面向数学专业的数值分析教学,工科学生一般难以从数值分析略显枯燥的数值方法介绍中获得乐趣.能够和实际问题有机结合,特别是与日常工程问题求解结合可以大大提高教学的效果以及学习乐趣.这本书恰恰具有这个特点,贯穿全书的实际工程问题分析是本书的一大亮点.
  此外全书对于数值分析中的重要问题如正交、收敛等的不断强调也有利于有机地理解各个数值分析方法.
  本书的前言、第1~8章、第12~13章和附录由裴玉茹翻译,第9~11章由马赓宇翻译,最后由裴玉茹统校全书.感谢在翻译过程中我们的家人和朋友所给予的支持和帮助.
  由于译者能力有限,本书的翻译中难免出现错误,望读者指正.

裴玉茹
2014年6月于畅春园
数学
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