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代数(原书第2版)


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(美)Michael Artin 麻省理工学院 著
978-7-111-48212-3
79.00
463
2014年11月18日
姚海楼 平艳茹 译
数学 > 代数,数论及组合理论 > 抽象代数
Pearson Education Asia
1775
简体中文
16
Algebra, 2E
教材
华章数学译丛








本书由著名代数学家与代数几何学家Michael Artin所著,是作者在代数领域数十年的智慧和经验的结晶。书中既介绍了矩阵运算、群、向量空间、线性变换、对称等较为基本的内容,又介绍了环、模型、域,伽罗瓦理论等较为高深的内容,本书对于提高数学理解能力。增强对代数的兴趣是非常有益处的。此外,本书的可阅读性强,书中的习题也很有针对性,能让读者很快地掌握分析和思考的方法。
本书由著名代数学家与代数几何学家Michael Artin所著,是作者在代数领域数十年的智慧和经验的结晶。书中既介绍了矩阵运算、群、向量空间、线性算子、对称等较为基本的内容,又介绍了环、模型、域、伽罗瓦理论等较为高深的内容。本书对于提高数学理解能力,增强对代数的兴趣是非常有益处的。此外,本书的可阅读性强,书中的习题也很有针对性,能让读者很快地掌握分析和思考的方法。
作者结合多年来的教学经历及读者的反馈,对本版进行了全面更新,更强调对称、线性群、二次数域和格等具体主题。本版的具体更新情况如下:
新增球体、积环和因式分解的计算方法等内容,并补充给出一些结论的证明,如交错群是单群、柯西定理、分裂定理等。
修订了对SU2表示、正交关系等内容的讨论,并把线性变换和因子分解都拆分为两章来介绍。
新增大量习题,并用星号标注出具有挑战性的习题。
本书在麻省理工学院、普林斯顿大学、哥伦比亚大学等著名学府得到了广泛采用,是代数学的经典教材之一。
作者简介
Michael Artin 当代领袖型代数学家与代数几何学家之一,美国麻省理工学院数学系荣誉退休教授。1990年至1992年,曾担任美国数学学会主席。2002年获得美国数学学会颁发的Leroy P.Steele终身成就奖,2005年被授予哈佛大学百年奖章,2013年获得Wolf数学奖。Artin的主要贡献包括他的逼近定理、在解决沙法列维奇-泰特猜测中的工作以及为推广“概形”而创建的“代数空间”概念。
基本概念和命题在代数中或许很重要,
  原因在于它们是人们为探索公理及概括性
  而投入了孜孜不倦的热情所总结出来的,
  它们在代数中的重要性甚至可能会超过在任何其他学科中.
  但是,我坚信,
  具有极端复杂性的特殊问题才构成了数学的主干和核心,
  而掌握其难点往往需要更刻苦地钻研.
      ——Herman Weyl
  本书源于多年前我的代数课程补充讲义.我那时想比课本上更详尽地讨论一些具体的课题,比如,对称、线性群、二次数域,再将群论的重点由置换群转到矩阵群.格,另一个常见的主题,就自然出现了.
  我希望具体的东西能激发学生的兴趣并使抽象的东西更容易理解.简言之,同时学习具体和抽象两个方面,学生能考虑得更深远.这项工作进展得很顺利.我花了很长时间来确定什么内容要加进去,我逐渐写出了更多的讲义,最终上课就仅用讲义而不用教材了.虽然这样形成了一本与众不同的书,但当我把材料汇总起来时却遇到了很多难题.我不建议以这种方式写书.
  与多数代数书不同,本书更突出特殊的主题.每次重写一些章节的时候内容就会扩充,因为多年来我注意到,与抽象的概念相比,学生更喜欢具体的数学题材.结果,上面提到的这些东西就成了本书的主体.
  在写本书时,我尽量遵守下面的原则:
  1.基本的例子放在抽象的定义之前.
  2.技巧只要在本书的其他地方出现,它就应该被介绍.
  3.对一般的数学工作者而言,所有讨论的主题都应该是重要的.
  虽然这些原则听起来有点像爱国主义的教义,但我发现把它们明确地讲出来是有益的.当然,我有时也会违背这些原则.
  书中的章节按照我讲课的顺序编排,线性代数、群论和几何构成第一学期的内容.环的第一次引入是在第十一章,虽然在逻辑上这一章和前面的章节没有关系.我采用这样的编排是因为想从一开始就强调代数与几何的联系,而且因为前面几章的内容对其他领域的人来说也是最重要的.本书的前半部分没有侧重计算,但在后面的章节里弥补了这一不足.
关于第2版的说明
  本书第2版做了广泛的修订,融入了我20年的教学经验和许多人的建议.我已将修订部分在课堂上发给学生,初稿在过去的两年里一直用做讲义.这样,我从学生那里得到了许多宝贵的建议.本书的整体组织结构没变,但有两章太长把它们拆分了.
  书中还添加了一些新的内容.这些内容都不多,通过在别处做些改动就平衡了.这些新内容包括:若尔当形的提早介绍(第四章),一小节关于连续性的问题(第五章),交错群是单群的证明(第七章),球体的简短讨论(第九章),积环(第十一章),分解多项式的计算机方法和限定多项式的根的取值范围的柯西定理(第十二章),基于对称函数的分裂定理的证明(第十六章).此外还添加了一些好的练习题.但这本书太厚了,因此我尽力遏制了添加内容的冲动.
给教师的话
  使用本书的教师可以适当取材.不要试图全讲整本书,但是一定要包括一些有意义的特定主题,例如平面图形的对称、SU2的几何、虚二次数域上的算术.如果你不想讨论这些问题,那么这本书不适合你.
  使用本书需要的预备知识相对较少.学生应熟悉微积分、复数的基本性质和数学归纳法.了解证明肯定是有用的.第九章(线性群)中要用到的拓扑学概念不作为预备知识要求.
  建议你关注具体的例子,特别是前几章中的.这一点对学习这门课而对证明的构成没有明确概念的学生来讲是至关重要的.
  教师可以花一个学期讲授前5章,但这样会使本书的目的大打折扣,真正有意义的内容从第六章(对称)才开始.尽快学到第六章,这样就可以以轻松的节奏学完第六章.尽管对称很快能吸引学生的注意力,但是对称不是一个轻松的主题,教师很容易为内容陶醉而学生却跟不上进度.
  目前,我班上的大多数学生来上课前就熟悉了矩阵运算和模算术,在班上我根本没讲第一章(矩阵)而直接留了作业.下面是关于第二章(群)的建议.
  1.对抽象的问题浅尝辄止,在第六、七章还会遇到它们.
  2.例如,重点放在矩阵群.对称的例子最好推迟到第六章讲授.
  3.不要在计算上花费太多时间,在第十二章和第十三章自然会大量涉及.
  4.不强调商群的构造.
  商群提出了一个在教学上如何讲授的问题.虽然商群的结构在概念上很难,但在多数初等例子里商群是很容易作为同态的像给出的,因而不需要抽象定义.模算术几乎是其仅有的反例.由于模n的整数构成一个环,对于群的商,模算术不是一个具有启发性的好例子.第一次真正使用商群是在第七章讨论生成元和关系时.在本书的早期手稿里,我把商群推迟到那里讲授,但是,由于担心引起代数界的不满,我最后还是把商群放到了第二章.如果你不打算在课程中讲授生成元和关系,那么可将商的深入讨论推迟到第十一章(环),在那里商起着重要的作用,而且模算术成了最好的富于启发性的例子.
  在第三章(向量空间)中,我试图建立这样一种用基计算的方式,它使学生不会为保持下标一致而烦恼.由于记号在整本书中都使用,建议采纳这些记号.
  在第五章定义的矩阵指数在第十章用于描述单参数群,所以,如果你计划讲单参数群,迟早要讨论矩阵指数.但不要陷入过多讲授微分方程的诱惑,因为你是在讲授代数,不讲授过多的微分方程是可以理解的.
  除去前两节,第七章(群论的进一步讨论)包含了可选的内容.关于托德考克斯特算法一节是为讨论生成元和关系用的,否则没有什么用处.这一节也很有趣.
  第八章(双线性型)没有什么特别的.我没能解决这个主题的主要教学问题,即同一主题有太多的变化,但通过集中于实的和复的情形,我尽量使讨论简短.
  在第九章(线性群),计划把时间花在SU2的几何上.在我扩充关于SU2一节内容之前,我的学生每年都抱怨,之后他们开始索要补充读物,想学更多的东西.许多学生在上这门课时不熟悉拓扑学概念,但我发现学生不熟悉拓扑学概念所带来的困难是可以克服的.的确,这一章是学生了解流形的很好切入点.
  若干年来我一直反对把群表示写入第十章,因为它太难了.但是学生常常要求学习这个主题,我不断地问自己:化学家都能教的东西,为什么我们不能教?最终,依照本书的逻辑结构要求还是纳入了群表示这一主题.作为回报,埃尔米特型有了一个应用.
  你可能发现在第十三章中二次数域的讨论对于一般的代数课程来说太长了.考虑到这一点,我将第十三章第五节(分解理想)作为一个自然的停顿点.
  在入门级的代数课程里,似乎应该提及域的最重要的例子,因此第十五章讨论了函数域.伽罗瓦理论是否应该放到本科生课程中一直是一个有争议的问题.但是作为对称讨论的高潮,我把它安排在这里.
  对一些较难的练习题标上了星号.虽然我讲授代数课程多年,但这本书的许多方面仍是试验性的,我非常感谢使用本书的人提出批评和建议.
致谢
  我主要想感谢我的学生,多年来是他们使我的课堂如此令人神往.其中很多人在本书中会看到自己的贡献,我希望你们能原谅我没有一一列举你们的名字.
第1版致谢
  许多人用了我的讲义并给出了宝贵的建议,其中包括:Jay Goldman,Steve Kleiman,Richard Schafer和Joe Silverman.Harold Stark在数论方面、Gil Strang在线性代数方面给予了帮助.此外,下列人员阅读了手稿并给出了建议:Ellen Kirkman,Al Levine,Barbara Peskin和John Tate.我要特别感谢Barbara Peskin在她生命的最后一年通读了整本书两遍.
  需要数学精确性的插图是George Fann和Bill Schelter在计算机上制作的,我自己做不来.感谢Marge Zabierek,八年里他每年都重录手稿,直到手稿放到计算机里我能自己修订为止.感谢Mary Roybal对手稿的细致而老练的编辑工作.
我在写本书时对其他书参考得不多,但Birkhoff和MacLane的经典著作以及师从van der Waerden的学习对我影响很大.Herstein的书也一样对我影响深刻,我曾多年用之作为教材.在Noble的书以及Paley和Weichsel的书中我发现了好的练习题.
第2版致谢
  许多人对第1版做过评论,一些在文中提及了.我恐怕忘记了提及许多人.
  要特别感谢以下这些人:Annette A’ Campo和Paolo Maroscia对第1版做了仔细的转换和修正;Nathaniel Kuhn和James Lepowsky提出了宝贵意见;Annette和Nat最终教会了我怎样证明正交关系.
  感谢那些审阅我的手稿并给出建议的人.他们是:Alberto Corso,Thomas C.Craven,Sergi Elizade,Luis Finotti,Petter A.Linnell,Brad Shelton,Hema Srinivasan和Nik Weaver.Roger Lipsett阅读了全部修订后的手稿并给出了建议.Brett Coonley帮忙解决了把手稿变成TeX文档时遇到的技术问题.
  也感谢在Pearson出版社工作的Caroline Celano,她仔细而全面地对手稿进行了编辑;还有在Laserwords工作的Patty Donovan,她总是优雅地回复我要求进一步校正的请求,尽管她的耐心曾经多次受到考验.
  我同Gil Strang与Harold Stark几乎交谈过所有问题.
  最后,感谢麻省理工学院的本科生,他们阅读且评论了修订的文本并修正了错误.这些读者包括Nerses Aramyan、Reuben Aronson、Mark Chen、Jeremiah Edwards、Giuliano Giacaglia、Li-Mei Lim、Ana Malagon、Maria Monks和Charmaine Sia.我越来越依赖他们,特别是Nerses、Li-Mei和Charmaine.

“1,2,3,5,4…”
“不!爸爸,是1,2,3,4,5.”
“哎,如果我想说1,2,3,5,4,为什么不行呢?”
“不是那样数数的.”
——Carolyn Artin
译者序
前言
记号
第一章 矩阵1
 第一节 基本运算1
 第二节 行约简8
 第三节 矩阵的转置14
 第四节 行列式14
 第五节 置换20
 第六节 行列式的其他公式22
 练习25
第二章 群31
 第一节 合成法则31
 第二节 群与子群34
 第三节 整数加群的子群36
 第四节 循环群38
 第五节 同态40
 第六节 同构43
 第七节 等价关系和划分44
 第八节 陪集47
 第九节 模算术50
 第十节 对应定理51
 第十一节 积群53
 第十二节 商群55
 练习57
第三章 向量空间64
 第一节 Rn的子空间64
 第二节 域65
 第三节 向量空间69
 第四节 基和维数70
 第五节 用基计算75
 第六节 直和79
 第七节 无限维空间80
 练习81
第四章 线性算子85
 第一节 维数公式85
 第二节 线性变换的矩阵86
 第三节 线性算子90
 第四节 特征向量92
 第五节 特征多项式94
 第六节 三角形与对角形97
 第七节 若尔当形99
 练习104
第五章 线性算子的应用110
 第一节 正交矩阵与旋转110
 第二节 连续性的使用115
 第三节 微分方程组117
 第四节 矩阵指数121
 练习125
第六章 对称128
 第一节 平面图形的对称128
 第二节 等距129
 第三节 平面的等距132
 第四节 平面上正交算子的有限群135
 第五节 离散等距群138
 第六节 平面晶体群142
 第七节 抽象对称:群作用145
 第八节 对陪集的作用147
 第九节 计数公式148
 第十节 在子集上的作用150
 第十一节 置换表示150
 第十二节 旋转群的有限子群151
 练习155
第七章 群论的进一步讨论160
 第一节 凯莱定理160
 第二节 类方程160
 第三节 p-群162
 第四节 二十面体群的类方程162
 第五节 对称群里的共轭164
 第六节 正规化子166
 第七节 西罗定理167
 第八节 12阶群170
 第九节 自由群172
 第十节 生成元与关系174
 第十一节 托德考克斯特算法177
 练习182
第八章 双线性型188
 第一节 双线性型188
 第二节 对称型189
 第三节 埃尔米特型190
 第四节 正交性193
 第五节 欧几里得空间与埃尔米特空间198
 第六节 谱定理199
 第七节 圆锥曲线与二次曲面202
 第八节 斜对称型205
 第九节 小结207
 练习208
第九章 线性群214
 第一节 典型群214
 第二节 插曲:球面215
 第三节 特殊酉群SU2218
 第四节 旋转群SO3221
 第五节 单参数群223
 第六节 李代数226
 第七节 群的平移227
 第八节 SL2的正规子群230
 练习233
第十章 群表示238
 第一节 定义238
 第二节 既约表示241
 第三节 酉表示243
 第四节 特征标245
 第五节 1维特征标249
 第六节 正则表示249
 第七节 舒尔引理252
 第八节 正交关系的证明254
 第九节 SU2的表示256
 练习258
第十一章 环265
 第一节 环的定义265
 第二节 多项式环266
 第三节 同态与理想269
 第四节 商环274
 第五节 元素的添加277
 第六节 积环280
 第七节 分式281
 第八节 极大理想283
 第九节 代数几何285
 练习291
第十二章 因子分解295
 第一节 整数的因子分解295
 第二节 唯一分解整环295
 第三节 高斯引理302
 第四节 整多项式的分解305
 第五节 高斯素数309
 练习311
第十三章 二次数域316
 第一节 代数整数316
 第二节 分解代数整数318
 第三节 Z[-5]中的理想319
 第四节 理想的乘法321
 第五节 分解理想324
 第六节 素理想与素整数326
 第七节 理想类327
 第八节 计算类群330
 第九节 实二次域333
 第十节 关于格335
 练习338
第十四章 环中的线性代数341
 第一节 模341
 第二节 自由模342
 第三节 恒等式345
 第四节 整数矩阵的对角化346
 第五节 生成元和关系350
 第六节 诺特环353
 第七节 阿贝尔群的结构356
 第八节 对线性算子的应用358
 第九节 多变量多项式环361
 练习362
第十五章 域366
 第一节 域的例子366
 第二节 代数元与超越元366
 第三节 扩域的次数369
 第四节 求既约多项式372
 第五节 尺规作图373
 第六节 添加根378
 第七节 有限域380
 第八节 本原元383
 第九节 函数域384
 第十节 代数基本定理390
 练习391
第十六章 伽罗瓦理论395
 第一节 对称函数395
 第二节 判别式398
 第三节 分裂域399
 第四节 域扩张的同构401
 第五节 固定域402
 第六节 伽罗瓦扩张403
 第七节 主要定理405
 第八节 三次方程407
 第九节 四次方程408
 第十节 单位根411
 第十一节 库默尔扩张413
 第十二节 五次方程415
 练习418
附录 背景材料424
参考文献432
索引434
这本书的特色很浓.它给人的感觉是完全背离了Serge Lang那本经典的《代数》,也完全背离了Jacobson的《抽象代数学》与《基本代数》或者Hungerford的《代数》.书里讲的内容很广泛,不算太难,深度中等,大学阶段就可以看,其中一些内容也可作为研究生的代数教材.该书对于提高数学理解能力、增强对代数的兴趣是非常有益处的.此外,本书的可阅读性强,书中的习题也很有针对性,能让读者很快地掌握分析和思考的方法.美国伊利诺伊大学教授杰拉尔德·雅努斯评论该书为:“对于有一定线性代数和微积分基础而且学习动机很强的本科生而言,这是一本极好的教材.其内容和编写方式值得称道.作者在前言中列出了其编写所遵循的三个原则(简言之:例证应有助于理解定义、专业要点仅在需要时才在书中较后位置呈现、主题对大多数从事数学研究及教学的人而言都应是重要的),且特别强调这些原则中并不包括‘按照所教的方法做’这一项.整本书的编写风格是:给出基本概念、列出许多重要的例证以及简单明了地讨论一些前沿课题.”
  该书作者Michael Artin教授在2002年被美国数学学会授予Steele终身成就奖,在2005年被授予哈佛大学百年奖章,在2013年获得了Wolf数学奖.Michael Artin是当代领袖型代数学家与代数几何学家之一,美国麻省理工学院数学系荣誉退休教授.1990年至1992年,曾担任美国数学学会主席.Artin的主要贡献包括他的逼近定理、在解决沙法列维奇泰特猜想中的工作以及为推广“概形”而创建的“代数空间”概念.正因为这样,作者在该书里着力强调代数同其他数学分支的联系,特别是同拓扑和代数几何的联系.作者对本版进行了全面更新,更强调对称、线性群、二次数域和格等具体主题,让读者体会到代数在其他数学分支中的威力.同时,同第1版相比,习题变化很大.从习题中,读者对书中内容以及内容的延拓会有很深的体会.
  我们一接到翻译该书第2版任务,就深为书中内容所吸引,怀着愉悦的心情将本书翻译完,以便让更多的数学爱好者分享这部精彩著作.译者花了八个月的时间将其译完.翻译的过程也是学习该书的过程,并得到了许多收获.但由于译者学识以及翻译时间的限制,译稿一定有不当之处,欢迎读者指正.

姚海楼 平艳茹
于北京工业大学
2014年9月
数学
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