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数学建模方法与分析(原书第2版)


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(新西兰)Mark M.Meerschaert
7-111-16440-7
33.00
256
2005年06月27日
刘来福 杨淳 黄海洋
数学 > 数学实验与数学建模 > 数学建模
Academic Press
6430
简体中文
16开
Mathematical Modeling,Second Edition
教材
华章数学译丛







“本书条理清晰,推理严密。练习题非常好,例题也非常出色。说实话,我还从未考虑在我的课上使用其他教材。”
                   ——Blaise Morton, 明尼苏达大学
 
“这是一本很好的数学建模教科书,作者对本科生数学建模课程的教学方法非常接近我本人的看法。”                 
                ——W. George Cochran, 路易斯安那大学


  本书提出了一种通用的数学建模方法(即“五步方法”),帮助读者迅速掌握数学建模的真谛。作者以引人入胜的方式描述了数学模型的3个主要领域:最优化、动态系统和随机过程。本书以实用的方法解决各式各样的现实问题,包括空间飞船的对接、传染病的增长率和野生生物的管理等。根据需要详细介绍了解决问题所需要的数学知识。

●素材实例广泛
●结合使用计算机软件作为工具
●提供离散建模的题材,包括整数规划
●广泛地探讨了混沌和分形
●附加了线性规划的资料,包括电子表格工具的使用
第2版前言
  这本教材的第2版反映了若干学生和教师很有见解的批评和建议,最显著的变化是增加了广泛提议的两个新的小节.在第3章 “最优化计算方法”增加了关于离散最优化的新的一节,这里我们给出了整数规划的分支定界方法的实用的介绍,我们还探讨了线性规划和整数规划之间的联系,这样较早地引入了对连续模型离散化的重要的设想.在第6章 “动态模型的模拟” 增加了关于混沌和分形的新的一节.我们应用分析和模拟两种方法探讨了离散的和连续的动态系统的特性,以便理解在确定的条件下它们如何变成混沌,这一节为此课题提供了一个实际的易于理解的介绍.学生获得了关于对初始条件的敏感依赖性、周期加倍和奇怪吸引子,也就是分形集等概念的体验.最重要的是,在研究这些实际问题中,不断增加了学生对数学的兴趣.
  第2版还反映了当前技术的进步,包括了计算机代数系统MAPLE 和MATHEMATICA的最新的版本的应用.在第3章介绍了电子表格的线性和整数规划求解软件,以及流行的线性规划软件包LINDO产品.所有的计算机图像和适当应用技术的讨论都已更新.在本书中涉及的算法在不同平台上的计算机实现,以及本书包括的所有图像和计算结果的计算机文件可以从作者那里获得.
  我们很高兴读者对第1版提出了众多反馈意见,我们最希望听到使用这本书的学生与教师的意见.请别客气,随时向我提出任何批评和建议.

Mark M. Meerschaert电话:(702) 7846077
数学系传真: (702) 7841478
内华达大学Email:mcubed@unr.edu
Reno, NV 895570045http://unredu/homepage/mcubed/

第1版前言
  这本书是为数学专业及相关专业大学高年级的学生或刚入学的研究生提供的一本数学建模领域的入门读物.大学数学中一、二年级通常掌握的一元微积分、多元微积分、线性代数和微分方程是必需的.优先接触过计算、概率和统计是有用的,但不是阅读本书的前提.
  本书与某些专注于某一类数学模型的教科书不同,覆盖了从最优化到动态系统到随机过程中有关建模问题的广泛领域.本书也与另外一些仅仅要求掌握微积分知识的书籍不同,它将鼓励学生使用他们所学的全部的数学知识来解决问题(因为这些都是解决实际问题时需要的).
  占压倒优势的数学模型可以归于如下的三大类:最优化模型、动态模型和概率模型.在实际应用中模型的类型可能由所遇到的问题决定,但更多的是与使用者对模型的选择有关.在许多实例中都可以使用若干不同类型的模型.例如:一个大规模的蒙特卡罗模拟模型也可能会与一个小的易于处理的基于期望值的确定性模型结合起来使用.
  与数学模型的三个主要类别相对应,本书也分为三个部分.我们从最优化模型开始.第1章的第一节在一个变量的最优化问题的内容中介绍了数学建模的五步方法.在这一章的其余部分还介绍了灵敏性分析和稳健性分析.全书贯穿使用了这些数学建模的基本原理.每一章后面的习题也要求学生掌握.第2章,关于多变量最优化,我们介绍了决策变量、可行解、最优解和约束条件.在这一章介绍的拉格朗日乘数法主要是为了在多元微积分中没有接触过这一重要的技术的学生.在关于问题对于约束条件的灵敏性分析的这一节,我们会了解到拉格朗日乘子可用来表示影子价格(有些作者称它为对偶变量).这些被放在第3章稍后的关于线性规划的讨论当中. 第3章包含了一些重要的计算技术,包括单个和多个变量的牛顿法和线性规划.
  这本书的第二部分是关于动态模型的,介绍状态和平衡态的概念.随后的关于状态空间、状态变量和随机过程的平衡态的讨论都与这些概念密切相关.还讨论了离散和连续时间的非线性动态系统.在书中的这一部分很少强调严格的解析解,因为许多这类模型容许非解析解.
  在书的最后一部分我们介绍了概率模型.学习这部分内容不需要事先了解概率的知识,我们在本书前两部分的基础上进行讲解,以自然和直观的方式介绍实际问题中有关概率的概念.
  这本书的每一章都配有挑战性的习题.这些习题不但要求学生付出巨大的努力还需要一定的创造性.书中的问题不是编造的,它们都是现实问题.这些问题没有被设计去阐明特定数学技术的应用,相反,由于问题的需要,书中有时将会偶尔使用某些新的数学技术.我决定在书中不安排任何内容使学生产生疑问:“这个内容是干什么用的?”尽管虚构的问题过于典型化、过分简化或严重不实际,但是虚构的问题还是包含了应用数学去解决实际问题时的基本的挑战.对于许多学生来说,虚构的问题提供了足够的挑战.这本书教授了学生如何去解决这些虚构的问题.本书提供了一种通用方法,可以使得有能力的学生成功地运用它去解决这些虚构的问题,它出现在第1章的第1节.这个方法同样可用于全书所有类型的问题.
  每一章的习题的后面列出了建议的进一步阅读的参考文献.其中包括了若干与该章内容有关的应用数学的UMAP模块.UMAP模块能够提供对本书材料的有价值的补充.所有的UMAP模块可以从COMAP公司得到(COMAP Inc., 57 Bedford St.,Suite 210,Lexington MA,02173; 电话为 18007726627;电子邮件为order@comapcom; 网址为 http://wwwcomapcom).
  本书的主要论题之一是使用适当的技术去解决数学问题.计算机代数系统、图像和数值方法都是数学工具,许多学生还没有接触到这些工具.我们把当代新技术引入了本书,因为这些新技术更加便于解决现实世界中的问题,从而激励学生去学习它.计算机代数系统和二维图形在全书都会用到,第2、3章关于多元最优化的问题涉及到三维图形,接触过三维图形的学生可以尝试使用已掌握的知识.课文中的数值方法包括牛顿方法、线性规划、欧拉方法和线性回归.
  书中除了介绍绘图工具在数学中的恰当使用之外,还包括大量用计算机绘制的图形.计算机代数系统广泛地用于明显地需要代数计算的那些章节.本书第2、4、5章包含了从计算机代数系统MAPLE和MATHEMATICA得到的实际的计算机输出.关于计算技术的章节(第3、6、9章)讨论了对于求解允许非解析解的问题时数值算法的恰当使用.关于线性规划的第33节中包括了从流行的线性规划软件包LINDO得到的实际的计算机输出.关于线性回归的第83节包括了从通用的统计软件包MINITAB得到的输出.
  学生需要具备这些专用的技术以便于他们充分地利用本书.我尽量方便各种教师使用这本书.有些人有办法使学生接触这些复杂的计算工具,但有些人办法较少.最起码的需要包括:(1)绘制二维图形的工具,(2)一台能使学生执行简单的数值算法的计算机.计算机电子表格软件或者可编程的图形计算器都可以做这些事情.理想的状况是为学生提供机会接触较好的计算机代数系统、线性规划软件包和统计计算软件包.下面提供了关于最流行的计算机软件包的信息,对于那些没有接触过这些专门软件的学生和教师来说是有帮助的.
  本书中的数值算法是以伪代码的形式表示的.有些教师喜欢让学生自己实现这些算法.另一方面,如果不打算要求学生去写程序,我们希望使教师很方便地提供给学生适当的软件.本书中所有的算法都在各种计算机的平台上实现过,对于本书的使用者非常方便,无须附加的费用.如果你想得到这些算法的拷贝,请与作者联系.同样,如果你愿意与另外的教师和学生共享你自己的算法,请送一份你的拷贝给我.如过你允许的话,我将免费将它拷贝给其他的人.
  数学建模是连接数学和现实世界的桥梁.从提出问题,思考、优化这个问题,到用精确的数学语言叙述这个问题.一旦问题变成数学问题,就可以使用数学去求得解答.最后,需要倒转这个过程,把数学的解答翻译成对于原问题来说是易于了解的、有意义的答案.(这是很多人经常忽略的部分.)有些人擅长语言,而另一些人则擅长计算,我们需要具备两种能力的人.我们需要更多的人既擅长语言又擅长计算,并且愿意和能够进行翻译.这些人就是将来解决问题的有影响力的人.

软件
  下面是与本书内容有关的相关软件包的部分清单.
计算机代数系统
DERIVE, Soft Warehouse, Inc., http://www. derive. com
MAPLE, Waterloo Maple, Inc., http://www. maplesoft.com
MATHCAD, Mathsoft, Inc., 18006284223, http://www.mathsoft. com
MATHEMATICA, Wolfram Research, Inc., http://www.mathematica.com
MATLAB, The Math Works, Inc., http://www.mathworks.com
统计软件包
MINITAB, Minitab, Inc., 18003221377, http://www.minitab.com
SAS, SAS Institute, Inc., http://www.sas.com
SPSS, SPSS Inc., http://www. spss.com
线性规划软件包
LINDO, The Scientific Press, 18004515409, http://www.lindo.com
MPL, Maximal Software, Inc., http://www.maximalusa.com
AMPL, Compass Modeling Solutions, Inc., http:/www.modeling.com

致谢
  我很感谢Academic Press的Chuck Glaser、Joe Clifford、 Cindy Kogut 和Nancy Priest 对本书第1版所做的工作, Robert Ross、Amy Fulton、 Linda Ratts Engelman 和Vanessa Gerhard对第2版所做的工作.还要感谢 Annie Todd 向Academic Press推荐这本书,我的秘书Diane Hines出色的打印, 以及所有提出有见解意见的读者.感谢 Peter Cherry 和在Vector Research, Inc. 的所有人、 Steve Wheatcraft 和 Wallace Whiting 以及他们在Reno的内华达大学Mines 的Mackay 学校的学生,他们教我实际问题. 感谢Ron Fryxell、Chaitan Gupta, 以及我的所有在Albion 学院和在Reno 的内华达大学的同事,在我努力进行实际问题的教学中给予的大力支持.特别是,感谢我的学生踊跃地参加课堂实践,最终形成这本书,本书的成功,大部分归功于他们
第一部分 最优化模型
第1章 单变量最优化3
11 五步方法3
12 灵敏性分析7
13 稳定性与稳健性11
14 习题12
15 进一步的阅读文献14
第2章 多变量最优化15
21 无约束最优化15
22 拉格朗日乘子 24
23 灵敏性分析与影子价格31
24 习题38
25 进一步的阅读文献42
第3章 最优化计算方法43
31 单变量最优化43
32 多变量最优化50
33 线性规划58
34 离散最优化72
35 习题82
36 进一步的阅读文献89

第二部分 动态模型
第4章 动态模型介绍93
41 常态分析93
42 动力系统97
43 离散时间的动力系统102
44 习题108
45 进一步的阅读文献111
第5章 动态模型分析112
51 特征值方法112
52 对离散系统的特征值方法117
53 相图121
54 习题133
55 进一步的阅读文献137
第6章 动态模型的模拟138
61 模拟简介138
62 连续时间模型143
63 欧拉方法150
64 混沌与分形156
65 练习167
66 进一步的阅读文献176

第三部分 概率模型
第7章 概率模型简介181
71 离散概率模型简介181
72 连续概率模型简介184
73 统计简介187
74 习题191
75 进一步的阅读文献196
第8章 随机模型197
81 马尔可夫链197
82 马尔可夫过程205
83 线性回归213
84 习题220
85 进一步的阅读文献226
第9章 概率模型的模拟227
91 蒙特卡罗模拟227
92 马尔可夫性质232
93 解析模拟239
94 习题245
95 进一步的阅读文献249
后记250
索引253
在叶其孝教授和姜启源教授的推荐下,我们有幸阅读了本书英文版.不同于通常所见到的关于数学模型的书,本书使我们有一种耳目一新的感觉.我们很愿意将它译成中文介绍给国内的读者.
  本书最显著的特点是作者将数学建模的过程,也就是解决实际问题的数学模型方法归结为五个步骤(书中称之为“五步方法”),并且贯穿全书各类问题的分析和讨论当中.它们是:1. 提出问题;2. 选择求解问题的模型方法;3. 推导模型的数学表达式;4. 求解模型;5. 给出问题的解答.这是我们在进行数学建模时的一种科学的思维方式,特别是它可以有效地帮助初学者步入数学建模的大门.第一步的“提出问题”也就是我们常说的用数学语言表述实际问题的前提,包括合理的假设、引入变量和参量(带有恰当的单位及已知的关系)、明确求解的目标.这是成功建立数学模型的关键.最后一步“给出问题的解答”也就是我们常说的用通俗的语言表述数学结论,使得最初提出问题的人能理解你通过数学模型给出的结论.这是使得数学模型实现它的实用价值的关键.这种数学语言与非数学语言的“双向翻译”能力是数学建模过程中的薄弱环节.为解决这个问题,书中不仅通过对每个问题的讨论给予很好的示范,而且配备了大量的习题训练.同一个实际问题(如捕鲸问题)在不同章节的习题中反复出现,不断地要求应用五步方法,引导学生从不同的角度考虑,结合不同的数学模型进行讨论.所有这些对于希望提高数学建模能力的读者来说是非常有益的.
  本书的第二个特点是如何使用数学模型来解决实际问题.在数学上解决问题只需要根据问题提的条件通过数学上的分析得到所需要的结论工作就完成了.但是当你面对一个实际问题并使用数学模型归结为数学问题之后,通过对模型的数学分析给出解答并不意味着实际问题已经完全解决了.因为在建模的过程中通过假设问题被化简了,对参数给出的估计往往是近似的.这种化简和近似对于实际问题有多大影响?这也是数学建模工作者在解决实际问题时所必须面对的问题.本书提出了在组建数学模型并且进行分析得到结论之后的一项重要的工作:关于模型的灵敏性和稳健性的分析,是非常必要的.这一分析也是贯穿于全书各类问题的讨论之中.这在我国现有的数学建模教材中是少见的.现实的实际问题的复杂性和随机因素的影响都难以保证我们所做的假设是正确的,再加上观测数据存在的误差也会影响到人们对结论的信心.因此对参数进行灵敏性分析,可以确定结论的实用范围;对模型进行稳健性分析,可以断定从一个不完全精确的模型导出的结论是否对实际问题有价值,从而提高了数学模型的结论的有效性.这些分析对于数学建模工作者来说不仅必要,而且十分重要.为此作者在书中精心选择和设计了所使用的例题和习题.
  本书的第三个特点是将数学建模方法与计算机使用的密切结合.现代计算技术的应用不仅减少了计算错误,而且加强了数学应用者解决问题的能力.解析方法只能根据模型推测将会发生什么,而计算机模拟方法不仅通过模型的构造和运行能看到将会发生些什么,而且还能分析解析方法很难处理的复杂问题.在这本书中作者脱离了具体的计算机语言,以伪代码的形式给出解决问题的基本算法,使学生用自己掌握的计算机语言编程,尝试数值模拟方法.
  目前我国多数高等院校已经开设了数学模型课程,不少重点大学已将数学建模课程列为数学专业本科生必修的基础课程.全国的数学建模竞赛也已具有相当的规模和影响.这些变化极大地推动了我国高等学校的课程改革和数学应用教育的发展.现在我们面临的最重要的问题是如何提高数学建模课程的教学水平.好的教材是解决问题的关键之一.我们读完本书英文版后,感受到它的特色和魅力.本书只要求读者具有较好的大学一、二年级的基础知识(掌握一元微积分、多元微积分、线性代数和微分方程是必需的.优先接触过计算、概率和统计是有用的,但不是必须的)正合适作为高等院校数学建模课教学的参考书,特别是它注重培养数学建模的良好的习惯,通过大量的习题引导读者动手去做,由浅入深,循循善诱的特点.我们认为很有必要翻译成中文,献给广大的中国读者.鉴于我们翻译能力有限,书中涉猎的内容又十分广泛,不当之处实在难免.读者的任何批评指正都将是对本书的关心和帮助,我们由衷欢迎.
  本书第一部分和后记由杨淳翻译,第二部分和第2版前言由黄海洋翻译,第三部分和第1版前言由刘来福翻译.最后由刘来福对全书进行了统稿.感谢叶其孝教授和姜启源教授的推荐,感谢机械工业出版社华章分社的编辑们为这本书的出版所做的努力.

刘来福
2004年岁末
于北京师范大学数学科学学院
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