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数学建模(原书第3版)


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Frank R.Giordano,Maurice D.Weir,William P.Fox
7-111-14793-6
45.00
441
2004年12月06日
叶其孝 姜启源等
数学 > 数学实验与数学建模 > 数学建模
Brooks/Cole
15035
简体中文
16开
A First Course in Mathematical Modeling,Third Edition
教材
华章数学译丛







数学建模这门课程在数学及其在各个领域的应用之间架起一座桥梁。本书介绍了整个建模过程的原理,通过本书学习,学生将会有机会在设计创造性模型和经验模型、进行模型分析以及模型研究中得到亲身实践,增强解决问题的能力。
  论证了离散动力系统、离散优化等技术对现代应用数学发展的促进作用。
  强调通过模型设计提高学生的创造性和展现模型构建的艺术特性,用大量篇幅阐述了经验建模和模拟建模的思想。
  在设计创造性模型和经验模型、模型分析以及模型研究中融入个人项目和小组项目,并且包含大量的例子和习题。
  原书光盘含相关软件、附加的建模情景和实际课题,以及以往美国大学生数学建模竞赛的题目,以上内容请登录华章网站下载。
序言
第1章 对变化进行建模
引言
例1: 测试比例性
1.1  用差分方程对变化进行建模
例1: 储蓄存单
例2: 抵押贷款买房
1.2  用差分方程近似描述变化
例1: 酵母培养物的增长
例2: 再论酵母培养物的增长
例3: 接触性疾病的传播
例4: 血流中地高辛的衰减
例5: 对冷冻物体的加热
1.3  动力系统的解法
例1: 再论储蓄存单
例2: 污水处理
例3: 地高辛处方
例4: 投资年金
例5: 活期存储蓄帐户
例6: 再论投资年金
1.4  差分方程组
例1: 汽车租赁公司
例2: Trafalgar(特拉法尔加)战斗
例3: 竞争猎兽模型 - 斑点猫头鹰和隼
例4: 对政党的投票趋势
第2章 建模过程、比例性和几何相似性
引言
2.1  数学模型
例1: 车辆的停止距离
2.2 利用比例性进行建模
例1: Kepler(开普勒)第三定律
2.3 利用几何相似性进行建模
例1: 来自不动的云的雨滴
例2: 钓鱼比赛中的建模
2.4  汽车的汽油里程
2.5  体重和身高、力量和灵活性
第3章 模型拟合
引言  
3.1 用图形为数据拟合模型 
3.2 模型拟合的解析方法 
3.3 应用最小二乘准则 
3.4 选择一个好模型  
例1: 车辆的停止距离
第4章 实验建模
引言
4.1 Chesapeake海湾的收成和其他的单項模型  
例1: 收获蓝鱼 
例2: 收获蓝蟹 
4.2 高阶多項式模型 
例1: 带式录音机的播放时间 
4.3 光滑化:低阶多項式模型  
例1: 再论带式录音机的播放时间
例2: 再论带式录音机的播放时间
例3: 车辆的停止距离  
例4: 酵母培养物的增长
4.4 三阶样条模型 
例1: 再论车辆的停止距离
第5章 模拟方法建模
引言
5.1 确定性行为的模拟:曲线下的面积
5.2 随机数的生成
5.3 随机行为的模拟
5.4 存储模型:汽油与消费需求
5.5 排队模型
例1: 港口系统
例2: 早高峰时刻
第6章 离散概率建模
引言
6.1 离散系统的概率建模
例1: 再论汽车租赁公司
例2: 投票选举趋势
6.2 部件和系统可靠性建模型
例1: 串联系统
例2: 并联系统
例3: 串并联组合系统
6.3 线性回归
例1: 美国黄松
例2: 再论钓鱼比赛
第7章 离散优化建模
7.1 离散优化建模概述
例1:确定生产计划方案
例2:航天飞机的载货问题
例3:分段线性函数逼近
7.2 线性规划(一):几何解法
例1:木匠问题
例2:数据拟合问题
7.3 线性规划(二):代数解法
例1:木匠问题的代数解法
7.4 线性规划(三):单纯形法
例1:再论木匠问题
例2:表格形式
7.5 线性规划(四):敏感性分析
7.6 数值搜索方法
例1:二分搜索方法
例2:黄金分割搜索方法
例3:再论模型拟合的准则
例4:工业流程优化
第8章 量纲分析和相似性
引言
8.1 表示为乘积形式的量纲
例1:单摆
例2:作用在厢式运货车上的风力
8.2 量纲分析的步骤
例1:雨滴的终端速度
例2:再论汽车油耗问题
8.3 一个阻尼摆
8.4 解释量纲分析的几个例子
例1:爆炸分析
例2:烤火鸡应当烤多久?
8.5 相似性
例1:作用在潜艇上的阻力
第9章 函数图表构成模型
9.1 军备竞赛
例1:民防
例2:移动发射台
例3:多弹头
例4:再论多弹头分导再入运载系统回顾:弹头计数
9.2 对分阶段军备竞赛建立模型
9.3 不可再生资源的管理:能源危机
9.4 税收对于能源危机的影响
9.5 汽油短缺和税收
第10章 用微分方程建模
引言
10.1 人口增长
10.2 对药剂量开处方
10.3 再论刹车距离
10.4 自治微分方程的图形解
例1: 画相直线并且画解曲线的草图
例2: 汤的冷却
例3: 再论逻辑斯蒂增长
10.5 数值近似方法
例1: Euler 法
例2: 再论储蓄存单
第11章 用微分方程组建模
引言
11.1 一阶自治微分方程组的图形解
例1: 线性自治微分方程组
例2: 非线性自治微分方程组
11.2 竞争捕猎模型
11.3 捕食者-食饵模型
11.4 两个军事方面的例子
例1: Lanchester 战斗模型
例2: 军备竞赛的经济方面
11.5 微分方程组的Euler 方法
例1: 方程组的Euler 方法
例2: 轨线和解曲线
第12章 连续优化建模
引言
12.1 库存问题:送货费用和储存费用最小化
12.2 制造问题:竞争性产品生产中的利润最大化
12.3 约束连续优化
例1:石油转运公司
例2:航天飞机的水箱
12.4可再生资源的管理:渔业
附录A 1985-2002 数学建模竞赛试题
附录B 电梯问题的模拟算法
附录C 修正单纯形法

为便于在早期向学生传授建模的经验, 本教材的第1版是为了在基础性商业或工程微积分课程的同时或紧随其后开设数学建模课而构思设计的。在第2版中, 我们加进了讨论离散动力系统、线性规划和数值搜索法, 以及概率建模等章。此外, 我们扩写了有关模拟的引论这一节。在本版(第3版)中, 我们把某些动力系统的求解方法列入本书以揭示解的长期行为。我们在利用微分方程进行建模这一章中加进了基本的数值解法。本教材重新组织为两大部分: 第一部分, 离散建模(1-8章)以及第二部分, 连续建模(9-12章)。这种组织结构可以在不要求用微积分的第1部分的基础上教完整的建模课程。第二部分处理基于最优化和微分方程的连续建模, 可以和一年级的微积分同时讲授。本教材给予学生涉及建模过程中所有阶段的机会。所附的新制作的光盘包括了软件, 额外的建模情景和实际课题, 以及和美国大学生数学建模竞赛(MCM, Mathematical Contest in Modeling 的缩写)过去赛题的连接。我们要感谢数学及其应用联合会(COMAP, Consortium for Mathematics and its Applications的缩写) 的Sol Garfunkel(COMAP 的执行总裁)和职员为制作光盘所做的准备工作以及本序言后面标题为"资料来源"一节中提及的建模活动的支持。

目标和定位
  本课程一直是学习数学和数学在各领域中的应用之间的桥梁。本课程向学生提供了在早期就了解应用问题的各部分是怎样捏合在一起的机会。学生研究选自包括数学科学、运筹学、工程、管理和生命科学等许多学术领域共同经验的有意义和实际的问题。
  本教材提供完整的建模过程的入门介绍。学生有机会实践建模的以下各个方面并能加强其问题解决的能力。
  1.创造的和经验的模型的构建: 给定一种现实的情景, 学生要学习识别问题、作出假设和收集数据、提出模型、测试假设、必要时精练模型, 如果情况适宜时看看模型和数据是否一致, 以 及分析模型的基本数学结构以评价当并不精确地满足假设时结论的敏感性。
  2.模型分析: 给定一个模型, 学生要学会反向地操作推理以揭示那些不一定是显式表示的基本假设, 审慎严谨地评估这些假设和手头要处理的情景相符合得有多好, 并估计当并不精确地满足假设时结论的敏感性。
  3.模型研究: 学生研究一个特定的领域以获得对某些性态的更深入的理解并学会使用早已创建或公诸于世的模型。

学生的知识基础和课程内容
  因为我们的愿望是尽可能早地在课程中向学生传授建模的经验。9, 10和11章的仅有的必须的预备知识是对一元微积分的基本了解。尽管某些不熟悉的数学概念和思想是作为建模过程的组成部分来教的, 但强调的是应用中学毕业的学生早已知道的数学。第一部分尤其如此。建模课程将激励学生去学习诸如线性代数、微分方程、最优化和线性规划、数值分析、概率论和统计那样的更高级的课程。这些课程的力量和效用在本教材的各处都作了提示。
  此外, 本教材中的情景和习题不是作为特定的数学方法的应用而设计的。这些情景和习题却要求具有运用基本概念去求得没有确定答案的问题的合理解决的有创见的智慧。本教材讲述了某些数学方法(例如, Monte Carlo模拟、曲线拟合和维数分析), 因为它们常常不是作为大学水平学习的正式内容。教师应该发现通过习题的指派和实际课题来满足学生的特殊需要方面, 采用本教材有很大的灵活性。我们既用这些材料教过本科生的课程也教过研究生的课程, 甚至作为教师讨论班的基本内容。

本教材的内容组织
  借助于图1能最好地了解本教材的内容组织。前八章组成第一部分而且只要求预微积分的数学知识作为必须的预备知识。我们从应用简单的有限差分方程对变化进行建模的思想开始。对学生来说这种方法是相当直观的, 而且为我们提供了若干模型来继续支持第2章有关建模过程的讨论。我们在第2章中对模型进行分类、分析建模过程以及构建在后两章中要再讨论的若干比例模型。第3章向学生讲述用特殊类型的曲线去拟合所收集数据集的三个准则。第4章讲述怎样抓住所收集数据集的趋势的问题。在这种经验模型的构建过程中, 我们从用简单的单项模型去近似地拟合所收集数据集开始并逐渐地过渡到更为复杂的插值模型, 包括多项式光滑模型和三次样条模型。第5章讨论了模拟模型。一类经验模型用来拟合某些收集到的数据, 然后用Monte Carlo模拟来复制正在考察的行为。这种讲法激发了最终对概率和统计的学习。
  第6章提供了概率建模的一个引论。在前面讲过的情景和分析的基础上介绍了Markov(马尔科夫)过程、可靠性以及线性回归等论题。第7章利用第3章提出的另外两个准则讲述了寻求最优拟合模型的问题。线性规划是用准则之一来寻求"最优"模型的方法, 对于另一个准则可以用数值搜索方法。本章以介绍包括二分法和黄金分割法在内的数值搜索方法来结束。第一部分的最后一章, 第8章, 专讲在物理科学和工程中极具重要性的论题 — 维数分析。

      ④经验建模   ⑤模拟建模  ⑧维数分析和模拟模型
① 通过描述所观察    ⑥概率建模
到的数据来建模
② 建模过程、比例性   ⑦线性规划和数值搜索方法
和几何相似性
③ 拟合建模       ⑨作为模型的函数的图形      第二部分
            ⑩ 用微分方程建模 (11)用微分方程组建模 (12) 连续优化模型

* 第二部分要求一元微积分并修课程
图1  各章内容组织和讲授次序

  第二部分用来学习连续模型。第9章讨论连续图形模型的构建以及探究所构建的模型对作为这些模型基础的假设的敏感性。在10和11章中我们对动态的(随时间变化的)情景进行建模。这两章是建立在第1章讲述的离散分析的基础上的, 但现在考虑的是时间连续变化的情景。第12章专讲连续优化。学生有机会来求解只要求应用初等微积分的连续优化问题, 本章还介绍了约束优化问题。

学生实践课题
  学生实践课题是任何建模课程必不可少的组成部分。本教材包括了创造性和经验的模型构建、模型分析和模型研究方面的实践课题。因此我们建议由包括建模所有三个方面的实际课题的组合来构成一门课程。如果课题提出的情景没有唯一解, 那么这些课题就是最有启发性的。某些课题应该包括真实的数据, 或者是给学生数据或者是学生不难收集到的数据。把个人和小组的实践课题结合起来也是很重要的。在教师希望开发学生个人建模技巧的课程的那些部分个人实践课题就是合适的。但是在课程的较早阶段把小组课题包括进来将会活跃学生为解决难题而举行“集体自由讨论会” 的积极性。本教材推荐了诸如构建各种情景的模型, 完成UMAP的教学单元 ,或研究教材或课堂中作为例子讲述的模型等各种实践课题。对于每个学生来说, 在整个课程中接受模型构建、模型分析和模型研究的多样性实践课题的组合并建立起信心是重要的。学生也可能会选择一个他特别感兴趣的情景研制模型, 或分析在另一门课程中的模型。在典型的建模课程中我们推荐5到8个短小的实践课题。怎样向学生指派和运用实践课题的详细的建议包括在和本教材一起出版的教师手册中。
  就本教材涉及的情景的数目以及指派的家庭作业习题和实践课题而言, 我们发现采用精心且完整地研制过的不多几个实践课题来做会更好。为了能范围更大地选择许多应用领域中的问题我们还提供了比可以合理地指派的习题和课题更多的习题和课题。

计算的作用
  尽管本教材的许多章不要求计算能力 ,但是在任何真正的建模过程中计算起着重要的作用。我们发现在整个课程中图形计算器和计算机的结合使用是有益的。在1, 5两章中使用电子数据表格(spreadsheet)软件是有助益的, 而且每当数据给定时数据的显示功能是极其有用, 甚至是本质的。学生会发现在转换数据、最小二乘曲线拟合划分差分表和三次样条、编程模拟模型、线性规划和数值搜索法以及微分方程的数值解中计算也是很有用的。本教材所附的光盘提供了某些基本的技术工具, 学生可以把它们用做使用技术手段来建模的基础。为执行第4章中讲述的方法我们提供了某些FORTRAN程序。([译注] FORTRAN是formula translator(公式翻译程序)的缩写。它是第一个高级计算机语言(由John Backus 于1954-1958年期间研发), 它也是诸如变量、表达式、语句、迭代和条件语句、单独编译子程序和格式化输入输出等许多高级概念的先驱。FORTRAN这个名字表明它是植根于直到今天仍然大量使用它的科学和工程领域。在过去的40 多年里, FORTRAN得到了很大的改进和扩展。) 该光盘还包括了计算机代数系统MAPLE的一个辅导教材以及在本教材中的用法。

资料的来源
  我们发现数学及其应用联合会公司(COMAP)提供的资料是优秀的而且特别适用于我们建议的课程。大学生课堂上适用的单个的教学单元, 即UMAP教学单元, 可以通过多种途径来使用。首先, 它们可以用作若干堂课的教学素材。这样做时, 学生通过做教学单元中的习题来自学该教学单元(可以很方便地去掉教学单元提供的详细的解答)。另一种选择就是采用本教材实践课题节中建议的一个或多个UMAP教学单元把一组教学内容捏合在一起。这些教学单元也提供了“模型研究”的极好的原始资料, 因为它们覆盖了数学在众多领域中广泛而多方面的应用。这样做时, 给学生一个适当的教学单元进行研究并要求学生完成该教学单元并作出报告。最后, 这些教学单元都是学生实践模型构建的极好的情景来源。这样做时, 教师基于某个特定的教学单元所处理的应用问题给学生写一个情景并利用该教学单元作为背景材料, 或许要求学生在稍后一些日子里完成该教学单元。本教材所附的光盘包括教材中提及的大多数UMAP教学单元。想获得新开发的跨学科课题的有关信息可以写信给前面给出的地址, 或打电话 1-800-772-6627给COMAP, 或发电子邮件给 order@comap.com。
  学生小组实践课题的主要来源就是美国大学生数学建模竞赛(MCM)和跨学科建模竞赛(ICM)。可以通过光盘提供的连接来获得这些课题, 为了适合所教班级的目标教师要作一些修改。这些课题也是培训拟参加MCM和ICM的参赛队的极好的资源, 当前这两个竞赛是由美国国家安全局(National Security Agency, 缩写为NSA)和COMAP主办的。竞赛是在美国国家安全局、美国工业与应用数学学会(Society for Industrial and Applied Mathematics, 缩写为SIAM)、美国运筹学和管理科学学会(Institute for Operations Research and Management Sciences, 缩写为IOPMS)、美国数学协会(Mathematical Association of America, 缩写为MAA)的资助下由COMAP主办的。有关竞赛的更多的信息可以和COMAP联系或访问他们的网址为www.comap.com 的网站。

致谢
  我们总是乐于向在本书的研究和编写过程中发挥过作用的个人表示感谢。我们特别要感谢(已退休的)Jack M. Pollin准将和Carroll Wilde博士激发了我们教数学建模课程的兴趣以及对我们事业的支持和指导。我们要感谢许多同事在审阅第1版的手稿以及提出问题和修改意见方面的帮助, 他们是Rickey Kolb, John Kenelly, Robert Schmidt, Stan Leja, Bard Mansager, 特别是Steve Maddox和Jim McNulty。
  我们还受惠于支持本教材的许多UMAP材料的作者或合作者, 他们是David Cameron, Brindell Horelick, Michael Jaye, Sinan Koont, Stan Leja, Michael Wells和Carroll Wilde。此外, 我们要感谢Solomon Garfunkel以及整个COMAP公司的职员在编写本教材的研究课题中提供的合作, 特别要感谢Roland Cheyney在制作本教材所附的光盘中提供的帮助。我们也要感谢Tom O’Neil及其学生对光盘的制作所作出的贡献以及Tom在支持建模活动方面的有益建议。任何一本数学教材的产生都是一个复杂的过程, 我们感到特别运气的是有Brooks/Cole出版社高质量和创造性的职员队伍。我们要特别向第1版的编辑Craig Barth、第2版的编辑Gary Ostedt以及本版的编辑Gary Ostedt和Bob Pirtle表示感谢。就本版而言, 我们要特别感谢我们的市场经理Tom Ziolkowski; 我们的产品编辑Tom Novack; Merrill Peterson和产品服务纸型生产部; 以及Amy Moellering出色的文字编辑和排版工作。我们要特别感谢Wendy Fox为题献页提供她画的西点军校学员小教堂的画。
  最后, 我们要感谢我们的妻子, Judi Giordano, Gale Weir和Wendy Fox的鼓励和支持。
数学建模(Mathematical Modeling)是用数学方法解决各种实际问题的桥梁,随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展,数学的应用日益广泛,数学建模的作用越来越重要,可以毫不夸张地说数学和数学建模无处不在。
  数学建模的方法和技术不仅受到自然科学研究领域和工程技术领域人士的重视,而且被经济界、管理层,以及从事诸如生态、医学、地质、交通和社会科学等领域的专家所关注,甚至报刊中也越来越多地出现数学建模、建模和数学模型这样的术语(包括它们的英文名称Mathematical Modeling, Modeling和Mathematical Model),它们正在成为人们日常生活和语言交流中常见的内容。
  纵观历史, 任何成功的技术必定会进入到培养人才的教育领域,高等教育更应该与时共进,及时反映社会发展的需要。近年来符号和模型的作用已经成为数学教育所关注的中心议题,世界各国越来越多的大学(甚至中学)开设了数学建模的必修或选修课。数学教育界的一些有识之士认为,应该尽早地让学生学习并初步掌握数学建模的思想和方法, 而且正在努力身体力行。实际上, 这样做不仅有利于培养学生解决实际问题的能力和创新精神, 而且会使学生对数学有更深的理解,从而增强他们学好数学的积极性和主动性, 其结果必然是大大增强他们面对21世纪严峻挑战的竞争力。
  在我国, 从上世纪80年代初开始就有一些大学开设数学建模课程。上世纪90年代初开始举办的全国大学生数学建模竞赛更是取得了极大的成果, 并推动了我国的数学教育改革。我国数学教育界越来越多的人士也在研究如何尽早地让学生接触到数学建模的思想和方法。在教育部的领导下, 由全国大学生数学建模竞赛组委会组织和实施的研究课题“将数学建模思想和方法融入大学数学主干课程教学中的研究与试验”正是这种努力的一部分。
  然而, 要确有成效地实现尽早地让学生学习并初步掌握数学建模的思想和方法, 必须真正做到“以学生为中心、教师是关键、领导是保证”。就教师是关键而言, 如果没有教师自身和集体的钻研和实践, 以及结合学生实际情况的因材施教, 也不可能完成上述任务。
  我们翻译的这本书反映了美国几位教授、专家在传播数学建模的思想和方法方面所作的努力。该书的作者Frank R. Giordano教授多年来一直是美国大学生数学建模竞赛的主要组织者, 他是美国大学生数学建模竞赛(MCM) 组委会的主任, 另一位作者William P. Fox教授是美国中学生数学建模竞赛(HiMCM, 这项赛事也是由COMAP 于 1999 年开始组织的美国中学生数学知识应用竞赛) 组委会的主任 。三位作者在数学建模和微积分的教学方面富有经验并有多部受到欢迎的著作。
  本书可以作为我国从事数学建模教学的教师学习和钻研的素材。由于该书对于用到的数学知识力求深入浅出,涉及的应用领域又相当广, 因此特别值得作为大专院校数学教师用作教学参考书和学生的课外读物。
  本书由以下几位教授共同翻译。序言、第1、2章(叶其孝), 第3、4章(孙山泽), 第5、6章和附录A、B(姜启源), 第7、12章和附录C(谢金星), 第8、9章(王 强), 第10、11章(唐 云)。叶其孝教授通校了全部译文。为了方便读者, 我们在必要的地方加了一些译注, 还单列了一个“度量单位简表”。
  感谢原书作者为中文版撰写了序言,感谢机械工业出版社在引进本书以及编辑、出版中所作的努力。

译者
2004年3月于北京
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